S. 265Fragenbeantwortung im Anschluß an 4 Vorträge für Akademiker über die Beziehungen der Geisteswissenschaft zu den einzelnen Fachwissenschaften.
Die vier Vorträge des Zyklus «Proben über die Beziehungen der Geisteswissenschaft zu den einzelnen Fachwissenschaften» (Stuttgart, 11. bis 15. Januar 1921) sind zum ersten Mal veröffentlicht in der Zeitschrift Gegenwart, 14. Jahrgang 1952/53. Vortrag vom 11.Januar 1921: Heft 2,S. 49-67; Vortrag vom 12. Januar 1921: Heft 3,5.97-118; Vortrag vom 14. Januar 1921: Heft 4/5, S.145-167; Vortrag vom 15. Januar 1921: Heft 6, S.225-236 und Heft 7, S.257-268; Fragenbeantwortung vom 15. Januar 1921: Heft
8, S.305-317. Die Veröffentlichung dieser Vorträge ist vorgesehen für GA 73a. - Siehe dazu den Tagungsbericht von Eugen Kolisko (1893-1939) in der Zeitschrift Dreigliederung des sozialen Organismus, 2. Jahrgang 1920/1921, Nr.31: S.4-5, Nr.32: 5.5 und Nr.33: S.4.
102 Geisteswissenschaftliche Impulse zur Entwickelung der Physik. Zweiter naturwissenschaftlicher Kurs. Wärmelehre (GA 321), Stuttgart 1. bis 14. März 1920.
103 Rudolf Clausius (1822-1888), Physiker in Berlin, Zürich, Würzburg und Bonn. Clausius gehört zusammen mit Ludwig Boltzmann (1844-1906) und James Clark Mazwell (1831-1879) zu den Begründern der modernen Thermodynamik auf der Basis der kinetischen Gastheorie und statistischen Mechanik. Seine Abhandlungen zur Wärmetheorie sind zusammengefaßt in Die mechanische Wärmetheorie [1876-91]. - Siehe dazu auch die Vorträge vom 1. und 11. März 1920 (GA 321).
104 Auf von verschiedenen Autoren geäußerte Bedenken gegenüber dem mechanischen Ansatz bezüglich der Thermodynamik weisen die Herausgeber des Zweiten naturwissenschaftlichen Kurses (GA 321) hin (siehe den Vortrag vom 1. März 1920, Hinweis zu S.26 auf S. 222 ff.). Man kann hinzufügen, daß vor der Entdeckung der Quantenmechanik und Quantenstatistik die verschiedenen Ansätze für das mechanistische Modell der molekularen Struktur der Materie sich nicht in durchgehende Übereinstimmung mit experimentellen Befunden, insbesondere mit den Ergebnissen der Spektroskopie, bringen ließen. Siehe dazu Harman [1982], Kapitel V und VI.
105 Das Ätherdrift-Experiment von Michelson und Morley (1881ff.) sollte die relative Geschwindigkeit der Erde gegenüber dem als ruhend angenommenen quasimateriellen physikalischen Äther feststellen. Der Ausgang des äußerst präzise durchgeführten Experimentes war negativ. Dadurch waren alle auf der Annahme eines absolut ruhenden Äthers basierenden Theorien des Lichtes und der Elektrizität zumindest in Frage gestellt. Eine theoretische Erklärung dieses Befundes wurde unabhängig von Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) und George Francis Fitzgerald (1851-1901) entwickelt. Die in diesem Zusammenhang aufgestellten Formeln (zum Beispiel die Lorentz-Kontraktion) konnte Alhert Einstein (1879-1955) wenig später aus den Grundannahmen seiner speziellen Relativitätstheorie (Relativitätsprinzip, absolute Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) ableiten, wobei er sich sowohl zur Ableitung wie zur Illustration seiner Theorie auf eine Reihe von Gedankenexperimenten stützte.
106 Siehe zu den Formeln für leitende und strahlende Wärme und zu den folgenden Ausführungen die Vorträge vom 12. März 1920 (GA 321) und 8. Januar 1921 (GA 323). - Eine Diskussion der entsprechenden Gleichungen mit Mitteln der modernen Mathematik findet man in Dustmann/Pinkall [1992].
107 Siehe dazu zum Beispiel Rudolf Steiner, Von Seelenrätseln (GA 21), Kapitel «Max Dessoir über Anthroposophie» sowie die Auseinandersetzungen um Hermann Keyserling am Ende der vorangehenden Fragenbeantwortung vom 15. Oktober 1920.
Dornach, 7. April 1921
Fragenbeantwortung (Disputation) während des «Zweiten Anthroposophischen Hochschulkurses« am Goetheanum in Dornach vom 3. bis 10. April 1921.
Die Vorträge Rudolf Steiners über «Anthroposophie und Fachwissenschaften» sind zusammen mit den Fragenbeantwortungen (Disputationen) gedruckt in Die hefruchtende Wirkung der Anthroposophie auf die Fachwissenschaften (GA 76). - Berichte über den zweiten anthroposophischen Hochschulkurs von Willy Stokar finden sich in der Zeitschrift Dreigliederung des sozialen Organismus, 2. Jahrgang, 1920/21, Nr.42 und 43, sowie von Eugen Kolisko in der Zeitschrift Die Drei, 1. Jahrgang 1921/22, S. 471-478. - Siehe dazu die «Einladung zum zweiten anthroposophischen Hochschulkursus vom 3. bis 10. April 1921 an der Freien Hochschule für Geisteswissenschaft, Goetheanum in Dornach« mit dem detaillierten Programm in der Zeitschrift Dreigliederung des sozialen Organismus, 2. Jahrgang, 1920/21, Nr.36.
108 Rudolf Steiner bezieht sich hier auf seinen Vortrag vom S. April 1921 (GA 76), wo von den drei Dimensionen des Raumes nur am Rande die Rede war. In den in der Zwischenzeit stattfindenden Disputationsabenden wurde das Thema dieses Vortrages sowie das der Vorträge von Hermann von Baravalle über «Raum und Zeit« und von Ernst Blümel über «Geisteswissenschaftliche Richtlinien zur mathematischen Behandlung naturwissenschaftlicher Probleme» am S. April nicht aufgegriffen.
109 Metageometrie ist eine heute kaum mehr gebräuchliche zusammenfassende Bezeichnung für verschiedene Typen nichteuklidiseher Geometrien. Darunter fielen in der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts insbesondere die projektive Geometrie, die hyperbolische und elliptische Geometrie, die Geometrie allgemeiner gekrümmter Räume (Riemannsche Geometrie) sowie die Geometrie höherdimensionaler Räume.
110 Siehe Hinweis 1 zum Vortrag vom 24. März 1905.
111 Mit der Riemsonschen Metageometrie kann hier die sogenannte elliptische Geometrie gemeint sein, die von Riemann zuerst entdeckt und beschrieben wurde (sie ist eng verwandt mit der Geometrie auf der Kugeloberfläche) oder die ebenfalls auf Riemann zurückgehende allgemeine Theorie gekrümmter Räume (Mannigfaltigkeiten mit Riemannscher Metrik), wovon die elliptische Geometrie ein Spezialfall ist (Raum mit konstanter positiver Krümmung).
112 Kant unterschied nicht zwischen der mathcmatisch-geometrischen Auffassung des Raumbegriffs und den Gesetzen des Anschauungsraumes. Er verabsolutierte die letzteren als notwendige, im Subjekt begründete Bedingungen der sinnlichen Anschauung. «Der Raum ist eine notwendige Vorstellung a priori, die allen äußeren Anschauungen zum Grunde liegt.» (Kritik der reinen Vernunft = KrV, B 38). «Auf diese Notwendigkeit a priori gründet sich die apodiktische Gewißheit aller geometrischen Grundsätze, und die Möglichkeit ihrer Konstruktion a priori.» (KrV, A 24). Daraus folgt: «Geometrie ist eine Wissenschaft, welche die Eigenschaften des Raumes synthetisch und doch a priori bestimmt.« (KrV, B 40). « [...] z.B. der Raum hat nur drei Abmessungen; dergleichen Sätze aber können nicht empirische oder Erfahrungsurteile sein, noch aus ihnen geschlossen werden» (KrV, B 41).
«Wie kann nun eine äußere Anschauung dem Gemüte beiwohnen, die vor den Objekten selbst vorhergeht, und in welcher der Begriff der letzteren a priori bestimmt werden kann? Offenbar nicht anders, als so fern sie bloß im Subjekte, als die formale Beschaffenheit desselben, von Objekten affiziert zu werden, und dadurch unmittelbare Vorstellung derselben d. i. Anschauung zu bekommen, ihren Sitz hat, also nur als Form des äußeren Sinnes überhaupt.« (KrV, B 41). Also gilt: «Der Raum ist nichts anderes, als nur die Form aller Erscheinungen äußerer Sinne, d. i. die subjektive Bedingung der Sinnlichkeit, unter der allein uns äußere Anschauung möglich ist» (KrV, B 42).
Damit fallen für Kant die Gesetze des Anschauungsraumes mit den überhaupt denkbaren geometrischen Prinzipien zusammen. Zur Zeit Kants waren in der Mathematik Ideen zu nichteuklidisch metrisierten oder mehr als dreidimensionalen Räumen noch nicht aufgetaucht, insbesondere auch nicht die erst auf Rie-mann zurückgehende klare Unterscheidung topologischer und metrischer Eigenschaften. Deshalb sah Kant auch keinen Unterschied zwischen der topologischen Eigenschaft der Unbegrenztheit und der metrischen (die Maßverhältnisse betreffenden) Eigenschaften der Unendlichkeit. So heißt es in seinen Ausführungen zu den «Antinomien der reinen Vernunft«, wo Kant die Unauflösbarkeit gewisser Probleme proklamiert, falls sie nicht von seinem Standpunkt aus interpretiert werden: «Ebenso ist es mit der doppelten Beantwortung der Frage, wegen der Weltgröße, dem Raum nach, bewandt. Denn, ist sie unendlich und unbegrenzt, so ist sie für alle möglichen empirischen Begriffe zu groß. Ist sie endlich und begrenzt, so fragt ihr mit Recht noch: was bestimmt diese Grenze?« (KrV, B 515). Der sich an die dreidimensionale euklidische Geometrie anschließende Kantsche Raumbegriff ist nicht mehr zu vereinbaren mit den verschiedenen Raumbegriffen, wie sie durch die weitere Entwicklung der Mathematik herausgearbeitet wurden. Einer der ersten, der darauf deutlich, vom Standpunkt der Physik und Physiologie, aufmerksam gemacht hat, ist Hermann von Helmholtz (1821-1894). Siehe dazu seine Rede Die Thatsachen in der Wahrnehmung [1878].
113 Die Diskussion der Paralogismen (Trug- oder Fehlschlüsse) der reinen Vernunft bilden zusammen mit der Diskussion der Antinomien der reinen Vernunft die Hauptbestandteile des zweiten Buches der «Transzendentalen Dialektik» der Kritik der reinen Vernunft [1787]. Mit der Kritik der Paralogismen der reinen Vernunft bezweckt Kant eine Kritik an den Behauptungen der damaligen rationalen Seelenlehre (mit den Problemen der Unveränderlichkeit, der Präexistenz der Seele usw.) und nicht eine Diskussion der klassischen Fehl- oder Trugschlüsse.
»Der logische Paralogismus besteht in der Falschheit eines Vernunftschlusses der Form nach, sein Inhalt mag übrigens sein, welcher er wolle. Ein transzendentaler Paralogismus aber hat einen transzendentalen Grund: der Form nach falsch zu schließen. Auf solche Weise wird ein dergleichen Fehlschluß in der Natur der Menschenvernunft seinen Grund haben, und eine unvermeidliche, obzwar nicht unauflösliche, Illusion bei sich führen.» (KrV, B 399). Wie dann später in der Diskussion der Antinomien der reinen Vernunft, so versucht auch hier Kant bei der Besprechung von Paralogismen zu zeigen, daß sich diese nur »auflösen«, wenn man seine Ansicht zugrundelegt, daß man bloß von den Erscheinungen der Dinge an sich wissen könne und die Vernunft nach regulativen Prinzipien (sowie gemäß den Anschauungsformen des Raumes und der Zeit) diese Erscheinungen ordnen könne, jedoch keine unmittelbare Einsicht in die Konstitution der Dinge an sich möglich sei.
Das Raumproblem spielt bei der Besprechung der Paralogismen der reinen Vernunft nur am Ra-nde eine Rolle: beim vierten Paralogismus über das Verhältnis der Seele «zu möglichen Gegenständen im Raum» (KrV, B 402).
Bei der Diskussion des Systems der kosmologischen Ideen in dem Abschnitt über die «Antinomie der reinen Vernunft» ist die Kantsche Raumauffassung dagegen von grundlegender Bedeutung.
114 Historischer Ausgangspunkt und zunächst Fundament nichteuklidischer Begriffsbildungen (projektive Geometrie, gekrümmte und mehrdimensionale Räume) war selbstverständlich der dreidimensionale euklidische Raum. Insofern waren die neuen Raumformen abgeleiteter Natur, zwar nicht Spezialfälle des euklidischen Raumes, aber Erweiterungen der Auffassung des Raumbegriffs auf der Basis euklidischer Grundbegriffe. Steiners Hinweis auf einen Zirkel bezieht sich also auf die nur scheinbar erreichte Verallgemeinerung der Auffassung des Raumes, solange die entsprechenden Begriffe wesentlich vom euklidischen Ausgangspunkt abhängen.
Die weitere Entwicklung der Mathematik hat gezeigt, daß die euklidische Basis entbehrlich ist, daß die Gesetzmäßigkeiten des Raumes stufenweise entwskkelt werden können, ohne spezifisch euklidische Begriffsbildungen in irgendeiner Weise vorauszusetzen. Man geht dabei von einer koordinatenfrei definierten topologischen Mannigfaltigkeit aus, ergänzt diese durch metrische (und gegebenenfalls differentialgeometrische) Strukturen und kommt dadurch etwa zur euklidischen Geometrie als Sonderfall einer dreidimensionalen metrischen Mannigfaltigkeit. Systematisch gesehen liegt hier kein Zirkel mehr vor. Diese Sachfragen waren zur Zeit dieser Fragenbeantwortung Steiners auch in Mathematikerkreisen noch nicht endgültig geklärt. - Siehe dazu die Notizblätter Rudolf Steiners und die entsprechenden Hinweise in Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, Nr. 114/115, Dornach 1995, S. 49f.
Was die Struktur des realen Raumes betrifft, so geben die mathematischen Begriffe in jedem Falle nur mögliche Raumformen an und sind in diesem Sinne abstrakt, wirklichkeitsfremd, solange ihre Zusammenstimmung mit der Wirklichkeit nicht geklärt ist.
115 Die auf Euklid (um 320 bis 260 v. Chr.) zurückgehende Auffassung des Raum-begriffs findet sich in den 13 Bücher umfassenden Elementen im I. und inbesondere im XI. Buch. Sie orientiert sich vor allem an den Grundlagen der Stereometrie, das heißt der Lehre von den räumlichen Körpern.
116 Zum Verhältnis von Imagination, Inspiration und Intuition zu den Dimensionen
des Raumes siehe die Vorträge vom 19. und 26. August 1923 (GA 227, S. 39-41,
161-163). Siehe auch die Vorträge vom 17. Mai 1905 (GA 324a), 16. September
1907 (GA 101, S. 189f.), 15. Januar 1921 (GA 323, S. 274-283), 8. April 1922 (GA
82), 24. Juni1922 (GA 213) sowie die Fragenbeantwortung vom 12. April 1922
(GA 82 und 324a).
117 Siehe dazu auch die Vorträge vom 9. und 10. April 1920 (GA 201), 17. März 1921 (GA 324), 26., 27. Dezember 1922 und I. Januar 1923 (GA 326). - Von einem ganz anderen Gesichtspunkt aus entwickelt Steiner die Nicht-Vertausehbarkeit der drei Dimensionen des Anschauungsraumes in dem Abschnitt «Der Goethesche Raumbegriff« in den Einleitungen zu Goethes Naturwissenschaftlichen Schriften (GA 1, S. 288-295).
118 Euklids Raumgeometrie ist noch im wesentlichen Stereometrie, das heißt Lehre von den geometrischen Eigenschaften räumlicher Körper. Der rechte Winkel, das Senkrecht-Stehen, spielen dabei ein wichtige Rolle. Der Würfel und das mit ihm zusammenhängende System dreier senkrecht aufeinanderstehender Achsen erhält jedoch durch Euklid keine Sonderstellung.
Die implizite Einführung solcher Achsen als Bezugssystem für eine algebraische Behandlung von Kurven geht im wesentlichen auf Pierre de Fermat (1601-1665) und René Descartes (1596-1650) zurück. Bei beiden spielen jedoch die Koordinatenachien als selbständiges, vom diskutierten geometrischen Objekt ablösbares Gebilde, noch keine Rolle. Zudem waren die Achsen bei Fermat und Descartes in vielen Fällen schiefwinklig. Ähnliches gilt für die an diese Pioniere anknüpfende Entwicklung und Ausarbeitung der analytischen Geometrie bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Die systematische Verwendung von zwei senkrecht oder schief zueinander stehenden Richtungen als Bezugssystem für Koordinaten und die Diskussion algebraischer Kurven findet sich erstmalig bei Isaac Newton (1643-1727) in seiner Abhandlung Enumeratio linearum tertii ordinis (1676). Newton verwendet auch zum ersten Mal in systematischer Weise negative Koordinaten, zeichnet also Kurven in allen vi«r Quadranten des Koordinatensystems. Die analytische Geometrie des Raumes und die entsprechende Verwendung eines Systems von drei senkrecht aufeinander stehenden Achsenrichtungen geht auf die systematischen Untersuchungen von Flächen durch Leonhard Euler (1707-1783) zurück. Die definitive Formulierung der analytischen Geometrie im modernen Sinne entstand um die Wende vom 18. zum 19. Jahrhundert durch Gaspard Monge (1746-1818) und dessen Schüler Francois Lacroiz (1765-1843), einem der erfolgreichsten mathematischen Lehrbuchautoren des 19. Jahrhunderts. Wurde bisher ein Koordinatensystem meist anhand eines gegebenen speziellen geometrischen Gebildes eingeführt, so wurde jetzt die analytische Geometrie zu einer Lehre von geometrischen Gebilden und deren inneren und gegenseitigen Verhältnissen im Rahmen eines vorgegebenen Koordinatensystems. Siehe dazu das Standardwerk von Boyer [1956].
119 Siehe dazu die in Hinweis 114 diskutierte Problematik.
120 Siehe dazu insbesondere die Fragenbeantwortungen vom 7. März 1920 und die entsprechenden Hinweise, vor allem Hinweis 27.