S. 24226 Hinton hat im Verlaufe seines Lebens nicht nur eine, sondern viele verschiedene Methoden zur Darstellung des vierdimensionalen Raumes im dreidimensionalen Anschauungsraum entwickelt und allgemeinverständlich dargestellt. Sein Verdienst liegt dabei mehr in der populären Darstellung als in der originären mathematischen Leistung. Siehe die im Literaturverzeichnis genannten Schriften von Hinton.
27 Hinton hat mit verschiedenen Färbungssystemen und Farbverteilungen gearbeitet. Dabei ging es ihm um die zweidimensionale Repräsentation dreidimensionaler Körper als Vorbereitung zur dreidimensionalen Repräsentation vierdimensionaler Körper (siehe dazu Hinton, A New Era of Thought [1900], Teil II, Kapitel 1 bis IV und VII, sowie The Fourth Dimension [1904], Kapitel XI bis XIII). Steiner scheint hier an eine stark vereinfachte Version eines dieser Systeme anzuknüpfen.
Ob Steiner mit der Farbgebung auf spezifische Besonderheiten der jeweiligen Dimensionen hinweisen wollte, geht aus dem Vortragszusammenhang nicht hervor, ist aber eher unwahrscheinlich. Hier gibt es auch erhebliche Differenzen zwischen den verschiedenen Nachschriften und Übertragungen, die vermutlich auf die unterschiedliche Verwendbarkeit von Farben (etwa weiß) auf einer schwarzen Tafel und auf weißem Papier zurückzuführen sind.
28 Diese Modelle befinden sich nicht in Steiners Nachlaß. Sie sind vermutlich nach einem entsprechenden Schreiben J. A. Schoutens an denselben zurückgesandt worden (siehe dazu Hinweis 22>.
29 Aus der Bewegung eines Quadrates mit vier Seiten im dreidimensionalen Raum kann ein Würfel mit sechs Grenzflächen erzeugt werden; diese sechs Flächen setzen sich zusammen aus dem Anfangs- und Endquadrat sowie den vier durch die Bewegung der Seiten erzeugten Quadraten. Dies kann sofort abgelesen werden anhand einer Parallelprojektion dieser Bewegung in eine Ebene, das heißt in einen zweidimensionalen Raum (siehe Figur 88). - Ebenso entsteht durch die Bewegung eines Würfels mit sechs Flächen im vierdimensionalen Raum ein Gebilde mit acht Grenzwürfeln, nämlich dem Anfangs- und Endwürfel sowie den sechs durch die Bewegung der Seiten erzeugten Würfeln. Dies läßt sich leicht ablesen anhand einer Parallelprojektion dieser Bewegung in den dreidimensionalen Raum (siehe Figur 90).
30 Der Ausdruck Tessarakt scheint für die analoge Figur zum Würfel im vierdimensionalen Raum von Hinton geprägt worden zu sei. Es findet sich in seinen Schriften auch die Schreibweise Tesserakt.
31 Fast dieselben Überlegungen (mit identischen Figuren) finden sich in Hinton, The Fourth Dimension [19041, Kapitel XII.
32 Goethe, Faust, Erster Teil, 4. Szene, Studierzimmer, Vers 2065ff.:
Mephistopheles:
Wir breiten nur den Mantel aus,
Der soll uns durch die Lüfte tragen.
Du nimmst bei diesem kühnen Schritt
Nur keinen großen Bündel mit.
Ein bißchen Feuerluft, die ich bereiten werde,
Hebt uns behend von dieser Erde.
Und sind wir leicht, so geht es schnell hinauf;
Ich gratuliere dir zum neuen Lebenslauf!
33 Moses, Erstes Buch, Kapitel 1,2. Siehe dazu R. Steiner, Die Geheimnisse der biblischen Schöpfungsgeschichte (GA 122), insbesondere Vortrag vom 20. August 1910.
Berlin, 31. Mai 1905
34 Die hier beschriebene Situation entspricht der Figur 76 im Falle der Abklappung des Würfels in eine Ebene:
Die Quadrate 5 und 6 liegen dabei «übereinander», was in der Ebene nicht unmittelbar zum Ausdruck gebracht werden kann. Die obere Seite vom Quadrat 2, die untere Seite vom Quadrat 4, sowie die rechte beziehungsweise linke Seite vom Quadrat 3 beziehungsweise 1 müssen mit den Seiten des Quadrats 6 identifiziert werden.
Ganz entsprechend liegen die Würfel 7 und 8 «ineinander» und können im dreidimensionalen Raum nicht unmittelbar unterschieden werden. Die obere beziehungsweise untere Seite der Würfel 5 beziehungsweise 6, die linke beziehungsweise rechte Seite der Würfel 3 beziehungsweise 4, sowie die vordere beziehungsweise hintere Seite der Würfel 1 beziehungsweise 2 müssen alle mit den Seitenquadraten des Würfels 8 identifiziert werden. - Für den Würfel läßt sich die Identifikation der Seiten des 6. Quadrates mit seinen benachbarten Quadraten an der gewöhnlichen Abklappung oder Abwicklung besser verfolgen (Figur 77).
S. 244Die entsprechende Situation für das Tessarakt, wo die Seitenflächen des 8. Würfels mit den entsprechenden Seitenflächen benachbarter Würfel identifiziert werden muß, ist in Figur 78 dargestellt.
35 Bei den fünf regelmäßigen konvexen Polyedern Würfel, Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind jeweils die Schnittwinkel der Flächen in den Kanten untereinander gleich. Der jeweilige Schnittwinkel ist charakteristisch für das entsprechende Polyeder.
Regelmäßige Polyeder werden begrenzt durch gleichartige regelmäßige Vielekke derart, daß an allen Ecken und Kanten dieselben geometrischen Verhältnisse vorliegen. Es genügt deshalb, an einer Polyedereeke zu untersuchen, wie viele Vielecke dort zusammenstoßen können. Daraus ergibt sich eine vollständige Übersicht aller möglichen Typen solcher Polyeder. Beginnen wir mit regelmäßigen Dreiecken (Figur 79). Zwei regelmäßige Dreiecke lassen sich noch nicht zu einer Polyederecke zusammenschließen. Bei drei Dreiecken erhält man eine Tetraederecke, bei vier Dreiecken eine Oktaederecke, und bei fünf Dreiecken eine Ikosaederecke. Sechs Dreiecke liegen flach in der Ebene und können keine Polyederecke bilden.
Aus drei regelmäßigen Vierecken, das heißt Quadraten, ergibt sich eine Würfelecke; vier Quadrate liegen bereits wieder flach in der Ebene.
S. 245Aus drei Fünfecken ergibt sich eine Dodekaederecke. Vier Fünfecke überschneiden sich bereits (Figur 80).
Drei Sechsecke liegen wieder flach in einer Ebene, und drei Siebenecke überschneiden sich. Es kann also tatsächlich nicht mehr als die bereits genannten fünf regelmäßigen Polyeder geben.
36 Rudolf Steiner bezieht sich hier auf ein in der geometrischen Kristallographie übliches Verfahren. Die sieben Kristallklassen beruhen auf den Symmetrien der sieben möglichen kristallographischen Achsensysteme. Die entsprechenden Symmetriegruppen, die alle Symmetrieelemente einer Klasse repräsentieren, nennt man die Holoedrien. Die zu diesen Symmmetriegruppen gehörigen Polyeder nennt man die holoedrischen Formen oder Vollflächner. Dabei handelt es sich um solche einfachen Vielflächner, die durch sämtliche einem Kristallsystem zugehörigen Symmetrieoperatoren in sich übergeführt werden können. Die hemiedrischen Formen oder Halbflächner sind Polyeder mit halb so vielen Flächen wie die jeweiligen holoedrischen Formen; sie entstehen aus diesen durch Flächenreduktion, das heißt durch das Hervortreten und Verschwiitden gewisser Flächen. Die Symmetriegruppe der Hemieder ist entsprechend reduziert (Unter-gruppe der Holoedrie vom Index 2). In diesem Sinne ist das Tetraeder die hemiedrische (halbflächige) Variation des Oktaeders.
Die Kristallographen führten auch noch Viertelflächner ein (tetardoedrische Formen), das heißt Flächenformen mit einem Viertel der Flächen der dazugehörigen holoedrischen Formen und entsprechend reduzierter Symmetriegruppe (Untergruppe der Holoedrie vom Index 4). Siehe dazu Hochstetter/Bisching [1868], S. 20ff., Schoute [1905], S. 190ff., Niggli [1924], S. 70ff., 129ff.
37 Im Würfel schneiden sich alle Flächen paarweise in rechten Winkeln. Welche Auswahl von Flächen man auch trifft, es entsteht wieder ein Gebilde mit Flächenwinkeln von 90. Allerdings läßt sich durch eine Flächenreduktion aus dem Würfel kein geschlossenes Polyeder mehr gewinnen.
38 Mit Achsen des Würfels sind hier die drei senkrecht aufeinander stehenden Richtungen durch den Würfelmittelpunkt gemeint, auf denen die Würfelflächen paarweise senkrecht stehen. Diese Achsen sind zugleich die Achsen der drei Zonen des Würfels (Figur 81). Unter einer Zone (oder einem Zonenverband> versteht man eine Menge von mindestens drei Flächen, die zu einer Geraden, der Zonen-achse, parallel sind.
S. 246Ein Rhombendodekaeder kann leicht mit Hilfe eines Würfels konstruiert werden: Man lege in einen Würfel alles sechs Diagonalebenen, welche Paare von gegenüberliegenden Kanten verbinden (Figur 82). Dann spiegle man die so im Innern des Würfels entstehenden sechs Pyramiden heraus (Figur 83). Die im Vortrag genannten vier «Achsen» sind diejenigen Diagonalen des Rhombendodekaeders. welche mit den Würfeldiagonalen dieses Würfels zusammenfallen.
Ei handelt sich bei diesen vier Achsen genau um die vier Zonenachsen des Rhombendodekaederi, das heißt diejenigen vier Achsen, zu denen je sechs Flächen dieses Körpers parallel sind. Diese vier Gruppen mit je sechs Ebenen nennt man die Zonenverbände des Rhombendodekaeders.
Ein Rhombendodekaeder ist kein regelmäßiges Polyeder, da die Ecken untereinander nicht gleichartig sind. An den aus den Würfelecken hervorgehenden Rhombendodekaederecken stoßen drei Flächen und an den übrigen Ecken vier Flächen aneinander. Die Zonenachsen gehen durch diejenigen Eckpunkte, an denen drei Flächen zusammenstoßen.
Man beachte, das die hier eingeführten «Achsen» des Rhombendodekaeders eine bestimmte Auswahl aus den sieben möglichen Diagonalen (Verbindungsgeraden gegenüberliegender Eckpunkte) darstellen.
S. 247Zur zeichnerischen Darstellung: Das Rhombendodekaeder wird hier, wie schon die anderen geometrischen Gebilde, in einer schiefen Parallelprojektion dargestellt, da dies den Bedingungen des Freihandzeichnens an der Tafel am ehesten entspricht. Die leichten Verzerrungen der folgenden Figuren müssen dementsprechend in Kauf genommen werden.
39 Auch das Rhombendodekaeder hat Achsen, zu denen die Flächen senkrecht stehen. Dreht man nämlich die vier Zonenachsen des Rhombendodekaeders um 45« um die senkrechte Achse des zugrundeliegenden Würfels und hält dabei das
Rhombendodekaeder fest, so treffen diese Achsen die Mitten von acht Flächen des Rhombendodekaeders. Der aus diesen Flächen gebildete Körper, ein Oktaeder, besteht dann genau aus denjenigen vier Paaren von Flächen, die senkrecht auf den (um 45 gedrehten) vier Zonenachsen des Rhombendodekaeders stehen (Figur 85). Ergänzt man diese vier Achsen durch die gleichfalls um 45« gedrehten zwei horizontalen Würfelachsen (siehe vorige Hinweis), so erhält man ein System von sechs «Achsen», die alle Flächen des Rhombendodekaeders senltrecht treffen.
40 Die Halbierung der Flächen führt beim Würfel zu keinen neuen Flächenwinkeln. Das Rhombendodekaeder läßt sich auf verschieden Weisen «halbieren» (Figur 86 und 87). Falls dabei ein geschlossenes Polyeder entsteht, so handelt es sich um ein schiefes Parallelepiped.
S. 24841 Dies gilt unter der Voraussetzung, daß die Schnitte des Tetraeders beziehungsweise des Würfels parallel zu schon vorhandenen Flächen geführt werden. Schneidet man etwa bei einem Würfel die Ecken so ab, daß die Schnittflächen senkrecht zu den Raumdiagonalen liegen, so entsteht erst ein Kuboktaeder und schließlich ein Oktaeder.
42 Siehe dazu auch den Vortrag vom 31. März 1905. - Welche Auswahl aus den sechs Flächen, die einen Würfel begrenzen, auch getroffen wird, es ergibt sich bei Ausdehnung der Grenzflächen über den ganzen Raum immer ein «Körper», der sich ins Unendliche erstreckt. Wählt man insbesondere aus den sechs Flächen drei paarweise aufeinander senkrecht stehende aus, so ergibt sich ein geometrisches Gebilde mit drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen zusammen mit den entsprechenden Verbindungsebenen. Ein solches System kann als Repräsentant des dreidimensionalen euklidischen Raumes aufgefaßt werden; es ist zugleich die geometrische Grundlage jedes euklidischen oder cartesischen Koordinatensystems (Achsenkreuz, Dreibein).
43 Die Darstellung scheint hier und im folgenden sehr verkürzt zu sein, sodaß verschiedene Gesichtspunkte ineinander geschoben erscheinen. Die Reihe Quadrat, Würfel, Tessarakt kann ergänzt werden durch eine Reihe von Gebilden, die nicht gerade oder flache, sondern gekrümmte Begrenzungen haben. Dadurch erhält man Gebilde, die als gekrümmte Quadrate, gekrümmte Würfel und als gekrümmte Tessarakte bezeichnet werden können. Bei diesen Gebilden haben die Begrenzungen diesselbe Dimension wie das Gebilde selbst.
Der Kreis, die zweidimensionale Sphäre und die dreidimensionale Sphäre sind topologisch äquivalent zu den Begrenzungigebilden des Quadrates, des Würfels beziehungsweise des Tessaraktes. Die Kreisfläche, die zweidimensionale Vollkugel und die dreidimensionale Vollkugel sind topologisch äquivalent zur Quadrat. fläche, zum Würfel beziehungsweise zum Tessarakt.
Andererseits erhält man durch geeignetes Krümmen einer eindimensionalen Strecke ein zweidimensionales Kurvenstück, insbesondere ein Kreissegment, durch Krümmen einer Kreisfläche ein dreidimensionales Gebilde, eine Kugel-schale, und durch Krümmen einer Vollkugel ein vierdimensionales Gebilde, insbesondere einen Teil einer vierdimensionalen Kugel.
Auf diese Weise läßt sich ein Kreis zusammensetzen aus zwei gekrümmten Strecken, die an ihren Endpunkten zusammengeklebt werden, und eine zweidimensionale Sphäre im dreidimensionalen Raum läßt sich zusammensetzen aus zwei gekrümmten Kreisflächen, die an ihren Rändern zusammengeklebt werden. Entsprechend erhält man eine dreidimensionale Sphäre im vierdimensionalen Raum, indem man zwei gekrümmte Vollkugeln an ihren Oberflächen (= zweidimensionale Sphären) zusammenklebt. Diese dreidimensionale Sphäre verhält sich zum Raum wie die zweidimensionale Sphäre (= gewöhnliche Kugeloberfläche) zur Ebene.
Berlin, 7. Juni 1905
44 Gemeint sind hier vermutlich die Bücher Hintons, Scientific Ronsanees [1886], A New Era of Thought [1900] und The Fourth Dimension [1904].
45 In der im fünften Vortrag vom 31. Mai 1905 entwickelten Darstellung des Tessaraktes handelt es sich nicht im engeren Sinne um eine Projektion, sondern um eine Abwicklung. Im folgenden wird Steiner eine orthogonale Parallelprojektion des Tessaraktes in den dreidimensionalen Raum konstruieren. Die Projektionsrichtung ist dabei die einer Körperdiagonalen.
46 Ist der Würfel als Kantengerüst gegeben, so ergeben sich als Resultat einer schiefen Parallelprojektion auf eine Ebene im allgemeinen zwei zueinander parallel verschobene Quadrate zusammen mit den Verbindungsgeraden entsprechender Ecken (Figur 88: Schiefe Parallelprojektion des Würfels).
S. 250Wird die Projektionsrichtung so gewählt, daß sie durch die Raumdiagonale A ,C geht, so fallen die Ecken A' und C zusammen, und es entsteht ein schiefes Sechseck mit Diagonalen. Die Abbilder der sechs einzelnen Seitenflächen des Würfels lassen sich aus diesem Sechseck so rekonstruieren, daß man alle möglichen Parallelogramme aus der gegebenen Linienstruktur bildet. Je eines dieser Parallelo gramme üherschneidet sich dabei mit je zwei anderen. Insgesamt wird die Fläche des Sechsecks von allen Flächen des Würfels doppelt überdeckt. Ist die Projektionsrichtung senkrecht zur Projektionsebene, so entsteht als Abbild des Würfels ein regelmäßiges Sechseck (Figur 89: Orthogonale Parallelprojektionen des Würfels).
Man beachte, daß sich in den drei Diagonalen des Sechsecks auch die drei (Zonen-)Achsen des Würfels abbilden. Die zu diesen Achsen gehörigen Zonenverbände, das heißt die zu je einer dieser drei Achsen parallen vier Flächen des Würfels, erscheinen als je vier Parallelogramme (oder Rhomben), die mit einer dieser Achsen eine Seite gemeinsam haben.
47 Weiter oben bezeichnete Steiner verschobene oder schiefe Quadrate als Rhomben; dies sind Parallelogramme mit gleich langen Seiten. Entsprechend sind Rhomhenwürfel schiefe Würfel, das heißt Parallelepipede mit gleich langen Seiten.
48 Ist das Tessarakt als Kantengerüst gegeben, so ergibt sich als Resultat einer Parallelprojektion in den dreidimensionalen Raum im allgemeinen zwei zueinander parallel verschobene Würfel zusammen mit den Verbindungsgeraden entsprechender Ecken (Figur 90: Schiefe Parallelprojektionen des Tessaraktes).
Wird die Projektionsrichtung so gewählt, daß sie durch die Diagonale A ,C geht, so fallen die Eckpunkte A' und C zusammen, und es ergibt sich ein Rhombendodekaeder mit vier Diagonalen. Die Abbilder der acht Kantenwürfel des Tessaraktes lassen sich bei der ersten Figur leicht auffinden: Es sind alle möglichen Parallelepipede, die durch Kombination der Kanten aus dem gegebenen Gerüst gebildet werden können. Es handelt sich dabei um den ursprünglichen und den verschobenen Würfel sowie die sechs Parallelepipede mit je einer Fläche aus dem ursprünglichen und einer aus dem verschobenen Würfel. Diese Situation ändert sich nicht grundlegend beim Übergang zum Rhombendodekaeder, nur daß jetzt alle »Rhombenwürfel» (Parallelepipede) so ineinander verschoben sind, daß sie den Innenraum des Rhombendodekaeders genau zweimal ausfüllen. Dabei überlagert sich ein Parallelepiped mit jeweils drei anderen.
Die durch die Projektion des Tessaraktes entstehenden vier Diagonalen des Rhombendodekaeders sind die Zonenachsen der vier Flächenverbände (aus je sechs Seitenflächen) des Rhombendodekaeders. Ein solcher Flächenverband besteht aus allen sechs zu einer Zonenachse parallelen Flächen. (Man beachte, daß beim Rhombendodekaeder die Zonenachsen nicht durch die Flächenmitten gehen wie beim Würfel, sondern durch Ecken.)
Diese vier Achsen sind aber zugleich die Projektion der vier im vierdimensionalen Raum aufeinander senkrecht stehenden Achsen des Tessaraktes. Die drei Achsen des Würfels gehen durch die Seitenflächenmitten dieses Körpers; entsprechend (analog) gehen die Achsen des Tessaraktes durch die Mitten der Seiten""ürfel des Tessaraktes. Bei der Parallelprojektion geht die Mitte eines Würfels in die Mitte des entsprechenden Parallelepipedes über. Wie man durch eine Untersuchung aller acht Parallelepipede im Rhombendodekaeder feststellen kann, gehen die vier Achsen genau durch die Mitten dieser Parallelepipede.
Wie beim Würfel die drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen zugleich Zonenachsen von drei Flächenverbänden mit je vier Flächen sind, so sind die vier Achsen des Tessaraktes Zonenachsen von vier Zellenverbänden mit je sechs Zellen (= Seitenwürfel des Tessaraktes). Im Rhombendodekaeder lassen sich diese zu einer Achse gehörigen Zellen leicht auffinden: es sind alle diejenigen sechs Parallelepipede, die mit einer Achse genau eine Seite gemeinsam haben.
49 Plato, Der Staat, 7. Buch, 514a-518c. - Wo Schopenhauer dieses Gleichnis behandelt, konnte bisher nicht ermittelt werden.
50 Auf diese Interpretation von Platos Höhlengleichnis macht auch schon Zöllner aufmerksam in seinem Aufsatz Über Wirkungen in die Ferne [1878a], S. 260ff
S. 25251 Siehe den Vortrag vom 24. März 1905.
52 Mit [sphärischem] Tessarakt scheint an dieser Stelle nicht der vierdimensionale Würfel im engeren Sinne, sondern die dazu topologisch äquivalente dreidimensionale Sphäre im vierdimensionalen Raum gemeint zu sein. Diese entsteht aus einer geeigneten Verkrümmung und Verklebung zweier Vollkugeln des dreidimensionalen Raumes. Siehe dazu Hinweis 43 zum Vortrag vom 31. Mai 1905.
53 Siehe dazu die Hinweise 43 und 52.
54 Für den folgenden Text dieses Vortrages wurden auch die im Aufsatz von Haase [1916] zitierten Bruchstücke von Nachschriften aus Steiners Vortrag vom 7. Juni 1905 herbeigezogen. Dies führte zu einigen sinngemäßen Ergänzungen.
55 Moses, Zweites Buch, Kapitel 19, sowie Kapitel 33 und 34.
56 In der theosophischen Literatur hat man die drei oberen Regionen des Geister-landes die Arupa-Regionen genannt, im Gegensatz zu den vier unteren, welche Rupa-Regionen heißen. (Siehe dazu die Hinweise der Herausgeber in R. Steiner, Die Grundelemente der Esoterik (GA 93a), S. 281ff.) Über die sieben Regionen des Geisterlandes siehe R. Steiner, Theosophie (GA 9), «Das Geisterland».
Zum Dimensionsproblem im Zusammenhang mit den Planen oder Regionen der geistigen Welt siehe auch den Vortrag vom 17. Mai 1905, die Fragenbeantwortung vom 11. März 1920 (Fragen von A. Strakosch), die Fragenbeantwortun-gen vom 7. April 1921 (GA 76) und 12. April 1922 (GA 82), und die Vorträge vom 19., 20., 22., und 26. August 1923 (GA 227).
Berlin, 7. November 1905
57 Siehe dazu die Vorträge vom 24. und 31. März 1905 und die dazugehörigen Hinweise.
58 Siehe dazu Hinweis 6 zum Vortrag vom 24. März 1905.
59 Siehe R. Steiner, Mein Lebensgang (GA 28), Kapitel III, S. 63f., sowie Damit der Mensch ganz Mensch werde. Die Bedeutung der Anthroposophie im Geistesleben der Gegenwart (GA 82), Vortrag vom 8. April 1922: «Die Stellung der Anthroposophie in den Wissenschaften«.
60 Rudolf Steiner bezieht sich hier auf die Ergänzung des euklidischen Raumes durch dessen Fernebene (oder absolute Ebene), wodurch ein projektiver Raum entsteht. Ein projektiver Raum hat keinerlei Fern- oder Grenzelemente, er ist in sich geschlossen, das heißt, man kann in jeder Richtung ins «Unendliche» hinausgehen und kommt ohne weiteres von der anderen Seite wieder zurück.
61 Siehe dazu die Ausführungen im Vortrag vom 24. März 1905 und die dazugehörigen Hinweise.
62 Siehe dazu die Ausführungen am Anfang des Vortrages vom 7. Juni1905 und die dazugehörigen Hinweise.
S. 253Berlin, 22. Oktober 1908
63 Die ersten mathematischen Untersuchungen zum Problem eines vierdimensionalen Raumes stammen schon aus der Mitte des 19. Jahrhunderts. Siehe dazu Manning, Geometry of Four Dimensions [1914], «Introduetion».
64 R. Steiner bezieht sich hier auf die Untersuchungen Riemanns zur Geometrie n dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Siehe dazu Hinweis 1 zum Vortrag vom 24. März 1905.
65 Siehe dazu die in ihrer Zeit bekannten und populären Schriften: Abbott, Flatland [1884], Hinton, Scientific Romances [1886], Kapitel »A plane world» (S.129-159) und Hinton, An Episode of Flatland [1907].
66 Siehe dazu den Vortrag Rudolf Steiners vom 10. April 1912 (GA 136). - Die Vermutung, daß diese Aussage auch ein Hinweis auf eine Ansicht Zöllners ist, ließ sieh nicht bestätigen. Zöllners Kometentheorie (siehe vor allem Zöllner [1886]) ist vielmehr die Grundlage und der Ausgangspunkt moderner konventioneller Kometentheorien geworden. Es ließ sieh kein Hinweis finden, daß Zöllner seine Kometentheorien in einen Zusammenhang mit seinen spiritistischen Ideen zum vierdimensionalen Raum gebracht hat.